Une permutation - Corrigé

Énoncé

Arthur choisit tous les jours son dessert avec la règle suivante.

• Si le jour précédent il a pris une crème, alors il prend une glace.
  
• Si le jour précédent il a pris une glace, alors il prend un yaourt.
  
• Si le jour précédent il a pris un yaourt, alors il prend une crème.
  

Lundi, il a choisit un yaourt.

1. Vérifier que l'évolution des desserts qu'il choisit suit une chaîne de Markov  \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\) .

2. Montrer qu'il existe une unique distribution invariante \(X\)  que l'on déterminera. La suite  \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\)  converge-t-elle vers  \(X\)  ?

3. Pourquoi pouvait-on conjecturer ce résultat ?

Solution

1. Chaque jour, son choix ne dépend que du jour précédent selon une règle fixe. Il s'agit donc bien d'une chaîne de Markov, avec la distribution initiale  \(X_0=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}\)  et la matrice de transition  \(T=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}\) .

2. Toute distribution invariante  \(X =\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\)  est solution du système :   \(\begin{cases}XT=X\\a+b+c=1, a\in [0 ; 1], b\in [0 ; 1], c\in [0 ; 1]\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}c=a\\a=b\\b=c\\a+b+c=1, a\in [0 ; 1], b\in [0 ; 1], c\in [0 ; 1]\end{cases}\)
Il y a donc une unique distribution invariante qui est  \(X=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\) .

Cependant la suite ne converge pas ; elle est périodique :

• \(X_0=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}=X_{3k}, k\in\mathbb{N}\)
  
• \(X_1=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}=X_{3k+1}, k\in\mathbb{N}\)
  
• \(X_2=\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}=X_{3k+2}, k\in\mathbb{N}\)
  

3. On pouvait conjecturer ce résultat car son choix suit une permutation circulaire des trois desserts possibles.